밤띠 1기타문제

가우스 함수와 정규분포

다음은 가우스 함수와 오차함수에 관한 자료이다.

양수 $s$ 에 대하여 가우스 함수 $G_s(x)$ 를

G_s(x)=\frac{1}{s\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2s^2}}

로 정의한다. 이때,

\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^{a}e^{-t^2}\,dt=\sqrt{\pi}

이다. 오차함수 $\operatorname{erf}(x)$ 를

\operatorname{erf}(x) =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,dt

로 정의한다. 또한 $a=\operatorname{erf}(1)$ , $b=\operatorname{erf}(2)$ 라 하자.

어느 모집단의 확률변수 $X$ 는 평균이 $20$ , 표준편차가 $\sigma$ 인 정규분포를 따른다. 이 모집단에서 크기가 $16$ 인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 $\overline X$ 라 할 때,

P(18\le \overline X\le22)=a

이다. 이 모집단에서 각각 크기가 $n$ , $4n$ 인 두 표본을 서로 독립적으로 임의추출하여 구한 표본평균을 각각 $\overline U$ , $\overline V$ 라 하자.

P\left(\left|\overline U-\overline V\right|\le5\right)\ge b

를 만족시키는 자연수 $n$ 의 최솟값을 구하시오.

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