2011학년도 6월 모의평가 수리 영역 나형 10번

가로의 길이가 5이고 세로의 길이가 4인 직사각형에서 그림과 같이 가로의 폭 $a$가 직사각형의 가로의 길이의 $\frac14$, 세로의 폭 $b$가 직사각형의 세로의 길이의 $\frac15$인 모양의 도형을 잘라내어 얻은 4개의 직사각형을 $R_1$이라 하고, 그 4개의 직사각형의 넓이의 합을 $S_1$이라 하자.

$R_1$의 각 직사각형에서 가로의 폭이 각 직사각형의 가로의 길이의 $\frac14$, 세로의 폭이 각 직사각형의 세로의 길이의 $\frac15$인 모양의 도형을 잘라내어 얻은 16개의 직사각형을 $R_2$라 하고, 그 16개의 직사각형의 넓이의 합을 $S_2$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 $R_n$의 $4^n$개의 직사각형의 넓이의 합을 $S_n$이라 할 때, $\sum_{n=1}^{\infty}S_n$의 값은? [4점]