2025학년도 3월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 28번

그림과 같이 직선 $y=x$ 위의 점 $A$를 중심으로 하고 $x$축과 만나지 않는 원 $C$에 대하여 원점 $O$를 지나고 원 $C$에 접하는 두 직선 중 기울기가 작은 직선을 $l:y=mx$라 하자. 원 $C$와 직선 $y=x$의 교점 중 $x$좌표가 작은 것을 $P_1$, $x$좌표가 큰 것을 $P_2$라 하면 $\overline{OP_1}=2$이다. 원 $C$ 위의 점 $P_1$에서의 접선과 직선 $l$의 교점을 $Q_1$, 원 $C$ 위의 점 $P_2$에서의 접선과 직선 $l$의 교점을 $Q_2$라 하면 삼각형 $AQ_2P_2$의 넓이는 삼각형 $AP_1Q_1$의 넓이의 $4$배이다. $m=\frac qp$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, 점 $A$는 제1사분면 위의 점이고, $p$, $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]