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그림과 같이 길이가 222인 선분 AB\mathrm{AB}AB를 지름으로 하는 반원 모양의 색종이가 있다. 호 AB\mathrm{AB}AB 위의 점 P\mathrm{P}P에 대하여 두 점 A\mathrm{A}A, P\mathrm{P}P를 연결하는 선을 접는 선으로 하여 색종이를 접는다. ∠PAB=θ\angle\mathrm{PAB}=\theta∠PAB=θ일 때, 포개어지는 부분의 넓이를 S(θ)S\left(\theta\right)S(θ)라 하자. θ=α\theta=\alphaθ=α에서 S(θ)S\left(\theta\right)S(θ)가 최댓값을 갖는다고 할 때, cos2α\cos2\alphacos2α의 값은?(단, 0<θ<π40<\theta<\dfrac\pi40<θ<4π) [4점]
