2019학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 20번

$40$ 이하의 서로 다른 두 자연수 $a$, $b$의 최대공약수가 $3$이므로 서로소인 두 자연수 $m$, $n$에 대하여 $a=3m$, $b=3n$이라 하면 $m$과 $n$은 $13$ 이하의 자연수이다.
순서쌍 $\left(a,\,b\right)$를 선택하는 경우는
‘(ⅰ) 서로 다른 두 자연수 $m$, $n$을 선택하는 경우’에서
‘(ⅱ) 서로 다른 두 자연수 $m$과 $n$이 서로소가 아닌 경우’를 제외하면 된다.

(ⅰ)의 경우 :
$13$개의 자연수에서 서로 다른 두 자연수 $m$, $n$을 선택하는 경우의 수는 $\boxed{\left(\text{가}\right)}$이다.

(ⅱ)의 경우 :
$m$과 $n$이 $2$의 배수인 경우의 수는 ${}_6\mathrm{P}_2$이고,
$m$과 $n$이 $3$의 배수인 경우의 수는 ${}_4\mathrm{P}_2$이고,
$m$과 $n$이 $5$의 배수인 경우의 수는 ${}_2\mathrm{P}_2$이다.
이 때, $m$과 $n$이 $\boxed{\left(\text{나}\right)}$의 배수인 경우가 중복되므로 서로 다른 두 자연수 $m$과 $n$이 서로소가 아닌 경우의 수는 $\boxed{\left(\text{다}\right)}$이다.

따라서 $40$ 이하의 서로 다른 두 자연수 $a$, $b$의 최대공약수가 $3$인 $a$, $b$의 모든 순서쌍 $\left(a,\,b\right)$의 개수는 $\boxed{\left(\text{가}\right)}-\boxed{\left(\text{다}\right)}$이다.