2018학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 19번

그림과 같이 $\overline{\mathrm{A_1B_1}}=2$, $\overline{\mathrm{B_1C_1}}=3$인 직사각형 $\mathrm{A_1B_1C_1D_1}$이 있다. 선분 $\mathrm{A_1D_1}$을 삼등분하는 점 중에서 $\mathrm A_1$에 가까운 점부터 차례대로 $\mathrm E_1$, $\mathrm F_1$이라 하고, 선분 $\mathrm{B_1F_1}$과 선분 $\mathrm{C_1E_1}$의 교점을 $\mathrm G_1$이라 하자. 삼각형 $\mathrm{B_1G_1E_1}$과 삼각형 $\mathrm{C_1F_1G_1}$의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 선분 $\mathrm{B_1C_1}$ 위에 두 꼭짓점 $\mathrm B_2$, $\mathrm C_2$가 있고, 선분 $\mathrm{B_1G_1}$ 위에 꼭짓점 $\mathrm A_2$, 선분 $\mathrm{C_1G_1}$ 위에 꼭짓점 $\mathrm D_2$가 있으며 $\overline{\mathrm{A_2B_2}}:\overline{\mathrm{B_2C_2}}=2:3$인 직사각형 $\mathrm{A_2B_2C_2D_2}$를 그린다. 선분 $\mathrm{A_2D_2}$를 삼등분하는 점 중에서 $\mathrm A_2$에 가까운 점부터 차례대로 $\mathrm E_2$, $\mathrm F_2$라 하고, 선분 $\mathrm{B_2F_2}$와 선분 $\mathrm{C_2E_2}$의 교점을 $\mathrm G_2$라 하자. 삼각형 $\mathrm{B_2G_2E_2}$와 삼각형 $\mathrm{C_2F_2G_2}$의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]