로그의 정의와 이차함수 추론

최고차항의 계수의 절댓값이 같은 두 이차함수 $f(x), g(x)$가 있다. 함수 $f(x)$는 모든 실수 $x$에 대해 $f(x)=f(-x)$를 만족시키고 방정식 $f(x)=g(x)$는 서로 다른 두 실근 $\alpha, \beta (\alpha<\beta)$를 갖는다. 이때 함수 $h(x)$는 다음과 같다.

이때 세 함수 $f(x), g(x), h(x)$가 다음 조건을 만족시킨다

(가) $\log_{g(x)}{|f(x)|}$가 정의되지 않도록 하는 서로 다른 실수 $x$의 값은 2개이다.

(나) $\log_{|h(x)|}{g(x)}$가 정의되지 않도록 하는 서로 다른 실수 $x$의 값은 4개이고, 두번째로 큰 값은 $3$이다.

$h(2)=\frac{10}{3}$일 때, $60\alpha^2=p+q\sqrt{6}$ 이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p, q$는 모두 유리수이다.)