2025학년도 6월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 16번

두 실수 $a\ (a>2)$, $b$에 대하여 이차함수 $y=x^2-(a+1)x+a$의 그래프와 직선 $y=bx-b$가 한 점 $A(1,0)$에서만 만난다. 함수 $y=x^2-(a+1)x+a$의 그래프가 $x$축과 만나는 점 중 $A$가 아닌 점을 $B$, 함수 $y=x^2-(a+1)x+a$의 그래프가 $y$축과 만나는 점을 $C$, 직선 $y=bx-b$가 $y$축과 만나는 점을 $D$라 하자. 다음은 삼각형 $OAD$의 넓이를 $S_1$, 사각형 $ABCD$의 넓이를 $S_2$라 할 때, $S_1:S_2=2:7$이 되도록 하는 $a$의 값을 구하는 과정이다. (단, $O$는 원점이다.)

이차함수 $y=x^2-(a+1)x+a$의 그래프가 직선 $y=bx-b$와 한 점 $A$에서만 만나므로 이차방정식 $x^2-(a+b+1)x+a+b=0$의 판별식 $D=0$이다. 삼각형 $OAD$의 넓이 $S_1$과 사각형 $ABCD$의 넓이 $S_2$를 $a$에 대한 식으로 나타내면

따라서 $S_1:S_2=2:7$이 되도록 하는 $a$의 값은

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(a)$, $g(a)$라 하고, (다)에 알맞은 수를 $p$라 할 때, $f(5)+g(5)+p$의 값은? [4점]