2019학년도 6월 모의평가 수학 영역 가형 20번

음이 아닌 정수 $a$, $b$, $c$, $d$가 $2a+2b+c+d=2n$을 만족시키려면 음이 아닌 정수 $k$에 대하여 $c+d=2k$이어야 한다.

$c+d=2k$인 경우는 (1) 음이 아닌 정수 $k_1$, $k_2$에 대하여 $c=2k_1$, $d=2k_2$인 경우이거나 (2) 음이 아닌 정수 $k_3$, $k_4$에 대하여 $c=2k_3+1$, $d=2k_4+1$인 경우이다.

(1) $c=2k_1$, $d=2k_2$인 경우:

$2a+2b+c+d=2n$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a$, $b$, $c$, $d$의 모든 순서쌍 $(a,b,c,d)$의 개수는 $\boxed{\text{(가)}}$이다.

(2) $c=2k_3+1$, $d=2k_4+1$인 경우:

$2a+2b+c+d=2n$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a$, $b$, $c$, $d$의 모든 순서쌍 $(a,b,c,d)$의 개수는 $\boxed{\text{(나)}}$이다.

(1), (2)에 의하여 $2a+2b+c+d=2n$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a$, $b$, $c$, $d$의 모든 순서쌍 $(a,b,c,d)$의 개수 $a_n$은

$a_n=\boxed{\text{(가)}}+\boxed{\text{(나)}}$

이다. 자연수 $m$에 대하여

$\displaystyle\sum_{n=1}^m\boxed{\text{(나)}}={}_{m+3}\mathrm C_4$

이므로

$\displaystyle\sum_{n=1}^8a_n=\boxed{\text{(다)}}$

이다.