파란띠 5수능형

빈칸 없이는 너무 어려운

포멧2026.09.20

모든 항이 양수인 수열 $\left\{a_n\right\}$ 에 대하여 수열 $\left\{b_n\right\}$ , $\left\{c_n\right\}$ 의 일반항이

\begin{aligned} b_n&=\sum_{k=1}^{n}\left(a_k+a_{k+1}\right)\left(a_k+4a_{k+1}\right),\\[6pt] c_n&=\sum_{k=1}^{n}a_ka_{k+1}\end{aligned}

이고 다음 조건을 만족시킨다.

$b_2 + c_2 = 400$
모든 자연수 $n$ 에 대하여
$\sum_{k=1}^{n} \dfrac{b_k}{c_k} \le 9n$
이다.

다음은 $\left\{a_n\right\}$ 의 일반항을 구하는 과정이다.

$2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 주어진 수열의 합에서 일반항을 계산하면 그 비는

\dfrac{b_n-b_{n-1}}{c_n-c_{n-1}} = \dfrac{\left(a_n\right)^2+5a_n a_{n+1}+4\left(a_{n+1}\right)^2}{a_n a_{n+1}}

이고, 이 식을 정리하면

\dfrac{4a_{n+1}}{a_n} + \dfrac{a_n}{a_{n+1}} + 5 \ge \boxed{\left(\text{가}\right)} \quad \left(n\ge 2\right) \qquad \cdots \text{㉠}

이다. $n=1$ 에서도 $\dfrac{b_1}{c_1}=\dfrac{4a_2}{a_1}+\dfrac{a_1}{a_2}+5\ge\boxed{\left(\text{가}\right)}$ 이다. 따라서 각 항의 양수인 분모를 곱한 뒤 부등식을 더하면 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $\dfrac{b_n}{c_n}\ge\boxed{\left(\text{가}\right)}$ 이다. 이를 주어진 합의 상한과 함께 이용하면

\boxed{\left(\text{가}\right)} \le \dfrac{b_n}{c_n} \le \boxed{\left(\text{가}\right)}

이므로 ㉠에서 등호가 성립하고, 따라서

b_n = \boxed{\left(\text{가}\right)} \times c_n \qquad \cdots \text{㉡}

가 성립한다. 한편, 주어진 조건과 ㉡에 의해

b_2+c_2 = \boxed{\left(\text{가}\right)} \times c_2 + c_2,\ a_1 = \boxed{\left(\text{나}\right)}

이고, ㉠의 등호가 성립해야 하므로 $\left\{a_n\right\}$ 의 일반항은

a_n = \boxed{\left(\text{다}\right)}

이다.

위의 (다)에 알맞은 식을 $f\left(n\right)$ 이라 하고, (가), (나)에 알맞은 수를 각각 $p$ , $q$ 라고 할 때, $p-\log_2 f\left(q\right)$ 의 값을 구하시오. [4점]

#등차·등비수열 #수열의 합과 점화식 #추론·증명 #4점 #관점 전환

정답률 –풀이 수 –정답 시 +15 Rating

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