2013학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수리 영역 가형 9번

그림과 같이 길이가 $2$인 선분 AB를 지름으로 하는 원 $O$가 있다. A, B를 각각 중심으로 하고 원 $O$와 반지름의 길이가 같은 두 원의 외부와 원 $O$의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에 선분 AB를 $2$등분한 선분을 각각 지름으로 하는 두 원을 그리고, 이 두 원 안에 각각 그림 $R_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 두 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

그림 $R_2$에 선분 AB를 $4$등분한 선분을 각각 지름으로 하는 네 원을 그리고, 이 네 원 안에 각각 그림 $R_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 네 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 모양의 모든 도형의 넓이의 합을 $S_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [3점]