2016학년도 대학수학능력시험 수학 영역 A형 15번

그림과 같이 한 변의 길이가 $5$인 정사각형 ABCD의 대각선 BD의 $5$등분점을 점 B에서 가까운 순서대로 각각 $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$라 하고, 선분 $BP_1$, $P_2P_3$, $P_4D$를 각각 대각선으로 하는 정사각형과 선분 $P_1P_2$, $P_3P_4$를 각각 지름으로 하는 원을 그린 후, 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 선분 $P_2P_3$을 대각선으로 하는 정사각형의 꼭짓점 중 점 A와 가장 가까운 점을 $Q_1$, 점 C와 가장 가까운 점을 $Q_2$라 하자. 선분 $AQ_1$을 대각선으로 하는 정사각형과 선분 $CQ_2$를 대각선으로 하는 정사각형을 그리고, 새로 그려진 $2$개의 정사각형 안에 그림 $R_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 모양의 도형을 각각 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

그림 $R_2$에서 선분 $AQ_1$을 대각선으로 하는 정사각형과 선분 $CQ_2$를 대각선으로 하는 정사각형에 그림 $R_1$에서 그림 $R_2$를 얻는 것과 같은 방법으로 모양의 도형을 각각 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]