2016학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수학 영역 B형 20번

그림과 같이 한 변의 길이가 $6$인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$가 있다. 정삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외심을 $\mathrm O$라 할 때, 중심이 $\mathrm A$이고 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{AO}}$인 원을 $O_A$, 중심이 $\mathrm B$이고 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{BO}}$인 원을 $O_B$, 중심이 $\mathrm C$이고 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{CO}}$인 원을 $O_C$라 하자. 원 $O_A$와 원 $O_B$의 내부의 공통부분, 원 $O_A$와 원 $O_C$의 내부의 공통부분, 원 $O_B$와 원 $O_C$의 내부의 공통부분 중 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 내부에 있는모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에 원 $O_A$가 두 선분 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{AC}$와 만나는 점을 각각 $\mathrm D$, $\mathrm E$, 원 $O_B$가 두 선분 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$와 만나는 점을 각각 $\mathrm F$, $\mathrm G$, 원 $O_C$가 두 선분 $\mathrm{BC}$, $\mathrm{AC}$와 만나는 점을 각각 $\mathrm H$, $\mathrm I$라 하고, 세 정삼각형 $\mathrm{AFI}$, $\mathrm{BHD}$, $\mathrm{CEG}$에서 $R_1$을 얻는 과정과 같은 방법으로 각각 만들어지는모양의 도형 $3$개에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

그림 $R_2$에 새로 만들어진 세 개의 정삼각형에 각각 $R_1$에서 $R_2$를 얻는 과정과 같은 방법으로 만들어지는모양의 도형 $9$개에 색칠하여 얻은 그림을 $R_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]