2013학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 B형 21번

그림과 같이 길이가 $2$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하고 중심이 점 $\mathrm O$인 원 $C_1$이 있다. 원 $C_1$ 위의 점 $\mathrm P$에 대하여 $\angle\mathrm{PAB}=\theta$라 하고, 선분 $\mathrm{OP}$에 접하고 중심이 점 $\mathrm B$인 원 $C_2$를 그린다. 원 $C_2$와 선분 $\mathrm{BP}$의 교점을 점 $\mathrm Q$라 할 때, $\lim\limits_{\theta\to+0}\frac{\overline{\mathrm{PQ}}}{\theta^3}$의 값은? $\left(\text{단, }0<\theta<\frac\pi4\right)$ [4점]