밤띠 3내신형

빈칸 채우기 문제는 이미 해법이 주어져있다

happyc2026.09.13

다음은 실수 전체의 집합에서 미분 가능한 함수 $f\left(x\right)$ 에 대해 $y=f\left(x\right)$ 위에 있지 않은 점 $\mathrm P\left(a,\,b\right)$ 와 $y=f\left(x\right)$ 위에서 움직이는 점 $\mathrm Q\left(t,\,f\left(t\right)\right)$ 의 거리 $\overline{\mathrm{PQ}}$ 가 최소라면 $y=f\left(x\right)$ 의 $\mathrm Q$ 에서의 접선 $l$ 이 직선 $\mathrm{PQ}$ 와 수직임을 증명하는 과정이다.

$\mathrm P$ 와 $\mathrm Q$ 사이 거리를 $g\left(t\right)$ 라 하면 $g\left(t\right)=\sqrt{\left(t-a\right)^{2}+\left(f\left(t\right)-b\right)^{2}}$ 이고 미분가능하다. $g\left(t\right)$ 가 $t=t_{0}$ 에서 최솟값을 가진다면,

$t_{0}\neq a$ 일 때 $g\left(t\right)$ 가 $t=t_{0}$ 에서 극값을 가지므로 $g'\left(t_{0}\right)=\boxed{\left(가\right)}$ 이다.

$g'\left(t\right)={\dfrac{\left(t-a\right)+\left(f\left(t\right)-b\right)f'\left(t\right)}{ \boxed{\left(나\right)}}}$ 이므로 $g'\left(t_{0}\right)=\boxed{\left(가\right)}$ 에서 $\left(t_{0}-a\right)+\left(f\left(t_{0}\right)-b\right)f'\left(t_{0}\right)=\boxed{\left(가\right)}$ 이다.

따라서 $f'\left(t_{0}\right)\times {\dfrac{f\left(t_{0}\right)-b}{ t_{0}-a}}=\boxed{\left(다\right)}$ 이므로 접선 $l$ 과 직선 $\mathrm{PQ}$ 는 수직이다.

$t_{0}=a$ 일 때 $g\left(t\right)$ 가 $t=a$ 에서 극값을 가지므로 $g'\left(a\right)=\boxed{\left(가\right)}$ 이다.

$f\left(a\right)\neq b$ 이므로 $f'\left(a\right)=\boxed{\left(라\right)}$ 이고 직선 $\mathrm{PQ}$ 가 $\boxed{\left(마\right)}$ 축과 평행하므로 접선 $l$ 과 직선 $\mathrm{PQ}$ 는 수직이다.

따라서 $\mathrm P$ 와 $\mathrm Q$ 사이 거리가 최소라면 $y=f\left(x\right)$ 의 $\mathrm Q$ 에서의 접선 $l$ 이 직선 $\mathrm{PQ}$ 와 수직이다.

$\mathrm P$ 가 원점 $\mathrm O$ 이고 $f\left(x\right)=x^{3}-{\dfrac{3}{2}}x^{2}-{\dfrac{7}{3}}$ 일 때 $\boxed{\left(나\right)}$ 에 해당하는 식을 $h\left(t\right)$ 라 하고 $\boxed{\left(가\right)}$ , $\boxed{\left(다\right)}$ 에 해당하는 수를 각각 $p,\,q$ 라 하자.

$r$ 를 $\boxed{\left(마\right)}$ 가 $x$ 일 때 $1$ , $y$ 일 때 $0$ 이라고 정한 후 $\overline{\mathrm{PQ}}$ 의 최솟값을 $m$ 이라 할 때 $54\left(h\left(p^{2}\right)+h\left(q^{2}\right)+h\left(r^{2}\right)\right)m^{2}$ 의 값은?