2013학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 문과 7번

그림과 같이 $0<a<b<1$인 두 실수 $a,b$에 대하여 곡선 $y=a^x$ 위의 두 점 $\mathrm A,\mathrm B$의 $x$좌표는 각각 $\dfrac b4,a$이고, 곡선 $y=b^x$ 위의 두 점 $\mathrm C,\mathrm D$의 $x$좌표는 각각 $b,1$이다. 두 선분 $\mathrm{AC}$와 $\mathrm{BD}$가 모두 $x$축과 평행할 때, $a^2+b^2$의 값은? [3점]