2025학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 기하 26번

좌표공간의 두 점 $\mathrm{A}\left(a,\,-5,\,2\right),\,\mathrm{B}\left(2,\,1,\,1\right)$에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$를 $2:1$로 내분하는 점을 $\mathrm{P}$, 선분 $\mathrm{AB}$를 $2:1$로 외분하는 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. 선분 $\mathrm{PQ}$의 중점을 중심으로 하는 구가 $yz$평면과 $zx$평면에 모두 접할 때, 양수 $a$의 값은? [3점]