사차함수의 개형 추론과 절댓값 함수의 미분가능성

최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f\left(x\right)$와 실수 $t$에 대하여 함수 $\left|f\left(x\right)-f\left(t\right)\right|$가 미분가능하지 않은 모든 실수 $x$의 값의 합을 $S\left(t\right)$라 하자. 함수 $S\left(t\right)$의 불연속점들을 작은 수부터 크기 순으로 나열한 것을 $t_1,\,t_2,\,...,\,t_7$이라 할 때, 함수 $S\left(t\right)$는 다음 조건을 만족시킨다.

$f\left(0\right)=0$일 때, $f\left(6\right)$의 값은?