2022학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 기하 28번

그림과 같이 두 점 $\mathrm F(c,0)$, $\mathrm F\prime(-c,0)$을 초점으로 하는 타원이 있다. 타원 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm P$에 대하여 직선 $\mathrm{FP}$가 타원과 만나는 점 중 점 $\mathrm P$가 아닌 점을 $\mathrm Q$라 하자. $\overline{\mathrm{OQ}}=\overline{\mathrm{OF}}$, $\overline{\mathrm{FQ}}:\overline{\mathrm F\prime\mathrm Q}=1:4$이고 삼각형 $\mathrm{PF}\prime\mathrm Q$의 내접원의 반지름의 길이가 $2$일 때, 양수 $c$의 값은? (단, $\mathrm O$는 원점이다.) [4점]