2025학년도 3월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 20번

그림과 같이 $y$좌표가 서로 같고 제$1$사분면 위에 있는 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 지나는 이차함수 $y=-ax^2+8ax\;\left(a>0\right)$의 그래프가 있다. 이 이차함수의 그래프의 꼭짓점을 $\mathrm{C}$라 하고, 점 $\mathrm{C}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{D}$라 하자. 점 $\mathrm{D}$를 지나고 선분 $\mathrm{BC}$와 평행한 직선이 이 이차함수의 그래프와 만나는 점 중 제$4$사분면 위에 있는 점을 $\mathrm{E}$라 할 때, 삼각형 $\mathrm{CAB}$의 넓이와 삼각형 $\mathrm{CEB}$의 넓이의 비는 $2:5$이다. 삼각형 $\mathrm{AOD}$의 넓이가 $12$일 때, 상수 $a$의 값은? (단, $\mathrm{O}$는 원점이고, 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표는 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표보다 작다.) [4점]