초록띠 5기출문제

2017학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 18번

다음은 $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 함수 $y=\sqrt x$ 의 그래프와 $x$ 축 및 직선 $x=n^2$ 으로 둘러싸인 도형의 내부에 있는 점 중에서 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 정수인 점의 개수 $a_n$ 을 구하는 과정이다.

$n=2$ 일 때, 곡선 $y=\sqrt x$ , $x$ 축 및 직선 $x=4$ 로 둘러싸인 도형의 내부에 있는 점 중에서 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 정수인 점은

$(2,\,1)$ , $(3,\,1)$ 이므로

a_2=\boxed{\text{(\char44032 )}}

이다.

$3$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n$ 을 구하여 보자.

위의 그림과 같이 $1\le k\le n-1$ 인 정수 $k$ 에 대하여 주어진 도형의 내부에 있는 점 중에서 $x$ 좌표가 정수이고, $y$ 좌표가 $k$ 인 점은

(k^2+1,\,k),\;(k^2+2,\,k),\;\cdots,\;\left(\boxed{\text{(\char45208 )}},\,k\right)

이므로 이 점의 개수를 $b_k$ 라 하면

b_k=\boxed{\text{(\char45208 )}}-k^2

이다. 따라서

a_n=\sum_{k=1}^{n-1}b_k=\boxed{\text{(\char45796 )}}

이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 $p$ 라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(n)$ , $g(n)$ 이라 할 때, $p+f(4)+g(6)$ 의 값은? [4점]

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