27. 그림과 같이 $\overline{A_1B_1}=4,\ \overline{A_1D_1}=1$인 직사각형 $A_1B_1C_1D_1$에서 두 대각선의 교점을 $E_1$이라 하자.

$\overline{A_2D_1}=\overline{D_1E_1},\ \angle A_2D_1E_1=\frac{\pi}{2}$이고 선분 $D_1C_1$과 선분 $A_2E_1$이 만나도록 점 $A_2$를 잡고, $\overline{B_2C_1}=\overline{C_1E_1},\ \angle B_2C_1E_1=\frac{\pi}{2}$이고 선분 $D_1C_1$과 선분 $B_2E_1$이 만나도록 점 $B_2$를 잡는다. 두 삼각형 $A_2D_1E_1,\ B_2C_1E_1$을 그린 후 △ 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 $\overline{A_2B_2}:\overline{A_2D_2}=4:1$이고 선분 $D_2C_2$가 두 선분 $A_2E_1,\ B_2E_1$과 만나지 않도록 직사각형 $A_2B_2C_2D_2$를 그린다. 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 세 점 $E_2,\ A_3,\ B_3$을 잡고 두 삼각형 $A_3D_2E_2,\ B_3C_2E_2$를 그린 후 △ 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [3점]