2020학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수학 영역 나형 18번

그림과 같이 중심이 $\mathrm O$, 반지름의 길이가 $2$이고 중심각의 크기가 $90^\circ$인 부채꼴 $\mathrm{OAB}$가 있다. 선분 $\mathrm{OA}$의 중점을 $\mathrm C$, 선분 $\mathrm{OB}$의 중점을 $\mathrm D$라 하자. 점 $\mathrm C$를 지나고 선분 $\mathrm{OB}$와 평행한 직선이 호 $\mathrm{AB}$와 만나는 점을 $\mathrm E$, 점 $\mathrm D$를 지나고 선분 $\mathrm{OA}$와 평행한 직선이 호 $\mathrm{AB}$와 만나는 점을 $\mathrm F$라 하자. 선분 $\mathrm{CE}$와 선분 $\mathrm{DF}$가 만나는 점을 $\mathrm G$, 선분 $\mathrm{OE}$와 선분 $\mathrm{DG}$가 만나는 점을 $\mathrm H$, 선분 $\mathrm{OF}$와 선분 $\mathrm{CG}$가 만나는 점을 $\mathrm I$라 하자. 사각형 $\mathrm{OIGH}$를 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에 중심이 $\mathrm C$, 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{CI}}$, 중심각의 크기가 $90^\circ$인 부채꼴 $\mathrm{CJI}$와 중심이 $\mathrm D$, 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{DH}}$, 중심각의 크기가 $90^\circ$인 부채꼴 $\mathrm{DHK}$를 그린다. 두 부채꼴 $\mathrm{CJI}$, $\mathrm{DHK}$에 그림 $R_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 두 개의 사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]