평가원이 각잡고 행렬문제 만들면 생기는 일

성분이 모두 자연수인 이차정사각행렬 $A$와 자연수 $m$에 대하여 행렬 $B=mE-A$가 $AB=E$를 만족시킨다. 행렬 $A$의 $(1,2)$ 성분과 $(2,2)$ 성분은 서로 같고, 자연수 $n$에 대하여 행렬 $A^n$의 $(1,1)$ 성분과 $(2,2)$ 성분의 합을 $t_n$이라 할 때 $t_3=18$이다.

두 행렬 $A$, $B$ 중 하나를 택하는 시행을 $13$번 반복한다. $k$번째 시행에서 택한 행렬을 $X_k$라 하고 $P_k=X_1X_2\cdots X_k$ $(k=1,2,\cdots,13)$라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 순서쌍 $(X_1,X_2,\cdots,X_{13})$ 중에서 $X_1=X_{13}$이고 $P_k$의 $(1,1)$ 성분이 $A^3$의 $(1,1)$ 성분과 같은 $k$가 존재하는 것의 개수를 구하시오. (단, $E$는 단위행렬이다.)