2017학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 18번

그림과 같이 한 모서리의 길이가 $6$인 정사면체 $\mathrm{OABC}$가 있다. 점 $\mathrm C$에서 모서리 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm H$라 할 때, 선분 $\mathrm{HC}$를 $n$등분하여 각 분점을 차례로 $\mathrm P_0(=\mathrm H)$, $\mathrm P_1$, $\mathrm P_2$, $\cdots$, $\mathrm P_{n-1}$, $\mathrm P_n(=\mathrm C)$라 하자.

$S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}_k}$라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n}n$의 값은? (단, $n$은 $2$ 이상의 자연수이다.) [4점]