2024학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 미적분 29번

자연수 $n$에 대하여 함수 $f\left(x\right)$를

이라 하자. 원점에서 곡선 $y=f\left(x\right)$에 그은 접선을 $l_n$, 접선 $l_n$의 접점을 $\mathrm{P}_n$이라 하자. $x$축과 직선 $l_n$에 동시에 접하고 점 $\mathrm{P}_n$을 지나는 원 중 중심의 $x$좌표가 양수인 것을 $C_n$이라 하자. 원 $C_n$의 반지름의 길이를 $r_n$이라 할 때, $40\times\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^2\left(4r_n-3\right)$의 값을 구하시오. [4점]