2016학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 29번

그림과 같이 한 변의 길이가 $4$인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$와 점 $\mathrm A$를 지나고 직선 $\mathrm{BC}$와 평행한 직선 $l$이 있다. 자연수 $n$에 대하여 중심 $O_n$이 변 $\mathrm{AC}$ 위에 있고 반지름의 길이가 $\sqrt3\left(\frac12\right)^{n-1}$인 원이 직선 $\mathrm{AB}$와 직선 $l$에 모두 접한다. 이 원과 직선 $\mathrm{AB}$가 접하는 점을 $P_n$, 직선 $O_nP_n$과 직선 $l$이 만나는 점을 $Q_n$이라 하자. 삼각형 $\mathrm{BO}_n\mathrm Q_n$의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}2^nS_n=k$이다. $k^2$의 값을 구하시오. [4점]