초록띠 5기출문제

2015학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 나형 18번

다음은 수열 $\{a_n\}$ 의 일반항 $a_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac1k$ 일 때, $n\ge2$ 인 모든 자연수 $n$ 에 대하여 등식

n+a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}=na_n\quad\cdots\;(\bigstar)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(i) $n=2$ 일 때,

(좌변) $=2+a_1=3$ , (우변) $=2a_2=2\left(1+\boxed{\text{(가)}}\right)=3$

이므로 $(\bigstar)$ 이 성립한다.

(ii) $n=m\;(m\ge2)$ 일 때 $(\bigstar)$ 이 성립한다고 가정하면

$m+a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{m-1}=ma_m$ 이므로

(m+1)+a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{m-1}+a_m=ma_m+\boxed{\text{(나)}}

=(m+1)\left(a_{m+1}-\boxed{\text{(다)}}\right)+1=(m+1)a_{m+1}

이다. 따라서 $n=m+1$ 일 때도 $(\bigstar)$ 이 성립한다.

그러므로 (i), (ii)에 의하여 $n\ge2$ 인 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $n+a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}=na_n$ 이 성립한다.

위의 증명에서 (가)에 알맞은 수를 $p$ , (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(m)$ , $g(m)$ 이라 할 때, $\frac{p\times f(3)}{g(11)}$ 의 값은? [4점]

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