2018학년도 대학수학능력시험 수학 영역 나형 19번

그림과 같이 한 변의 길이가 $1$인 정삼각형 $\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1$이 있다. 선분 $\mathrm A_1\mathrm B_1$의 중점을 $\mathrm D_1$이라 하고, 선분 $\mathrm B_1\mathrm C_1$ 위의 $\overline{\mathrm C_1\mathrm D_1}=\overline{\mathrm C_1\mathrm B_2}$인 점 $\mathrm B_2$에 대하여 중심이 $\mathrm C_1$인 부채꼴 $\mathrm C_1\mathrm D_1\mathrm B_2$를 그린다. 점 $\mathrm B_2$에서 선분 $\mathrm C_1\mathrm D_1$에 내린 수선의 발을 $\mathrm A_2$, 선분 $\mathrm C_1\mathrm B_2$의 중점을 $\mathrm C_2$라 하자. 두 선분 $\mathrm B_1\mathrm B_2$, $\mathrm B_1\mathrm D_1$과 호 $\mathrm D_1\mathrm B_2$로 둘러싸인 영역과 삼각형 $\mathrm C_1\mathrm A_2\mathrm C_2$의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 선분 $\mathrm A_2\mathrm B_2$의 중점을 $\mathrm D_2$라 하고, 선분 $\mathrm B_2\mathrm C_2$ 위의 $\overline{\mathrm C_2\mathrm D_2}=\overline{\mathrm C_2\mathrm B_3}$인 점 $\mathrm B_3$에 대하여 중심이 $\mathrm C_2$인 부채꼴 $\mathrm C_2\mathrm D_2\mathrm B_3$을 그린다. 점 $\mathrm B_3$에서 선분 $\mathrm C_2\mathrm D_2$에 내린 수선의 발을 $\mathrm A_3$, 선분 $\mathrm C_2\mathrm B_3$의 중점을 $\mathrm C_3$이라 하자. 두 선분 $\mathrm B_2\mathrm B_3$, $\mathrm B_2\mathrm D_2$와 호 $\mathrm D_2\mathrm B_3$으로 둘러싸인 영역과 삼각형 $\mathrm C_2\mathrm A_3\mathrm C_3$의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]