2016학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 B형 16번

한 변의 길이가 2인 정사각형 $\mathrm{A_1B_1C_1D_1}$이 있다. 그림과 같이 변 $\mathrm{A_1D_1}$의 중점을 $\mathrm M_1$이라 할 때, 두 삼각형 $\mathrm{A_1B_1M_1}$과 $\mathrm{M_1C_1D_1}$에 각각 내접하는 두 원을 그리고, 두 원에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 두 꼭짓점이 변 $\mathrm{B_1C_1}$ 위에 있고 삼각형 $\mathrm{M_1B_1C_1}$에 내접하는 정사각형 $\mathrm{A_2B_2C_2D_2}$를 그린 후 변 $\mathrm{A_2D_2}$의 중점을 $\mathrm M_2$라 할 때, 두 삼각형 $\mathrm{A_2B_2M_2}$와 $\mathrm{M_2C_2D_2}$에 각각 내접하는 두 원을 그리고, 두 원에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

그림 $R_2$에서 두 꼭짓점이 변 $\mathrm{B_2C_2}$ 위에 있고 삼각형 $\mathrm{M_2B_2C_2}$에 내접하는 정사각형 $\mathrm{A_3B_3C_3D_3}$을 그린 후 변 $\mathrm{A_3D_3}$의 중점을 $\mathrm M_3$이라 할 때, 두 삼각형 $\mathrm{A_3B_3M_3}$과 $\mathrm{M_3C_3D_3}$에 각각 내접하는 두 원을 그리고, 두 원에 색칠하여 얻은 그림을 $R_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]