2011학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 30번

[그림1]은 무대 디자이너 길섭씨가 야외공연 무대디자인 공모전에 출품한 작품이다. [그림1]의 중앙무대를 확대하면 [그림2]와 같고, 중앙 무대를 디자인하는 과정은 다음과 같다.

(1) 한 변의 길이가 $2$인 정사각형 $ABCD$를 그리고 각 변의 중점을 각각 $E$, $F$, $G$, $H$라 한다.

(2) 변 $BC$를 좌표평면 위의 $x$축과 평행하게 놓고 두 점 $B$, $C$를 지나며 점 $H$를 꼭짓점으로 하는 이차함수의 그래프와 두 점 $A$, $D$를 지나며 점 $F$를 꼭짓점으로 하는 이차함수의 그래프를 그린다.

(3) 변 $AB$를 좌표평면 위의 $x$축과 평행하게 놓고 (2)와 같은 방법으로 세 점 $A$, $B$, $G$를 지나는 이차함수와 세 점 $C$, $D$, $E$를 지나는 이차함수의 그래프를 추가로 그린다.

[그림1]

[그림2]

[그림2]의 어두운 부분의 넓이를 $\dfrac{p\sqrt2+q}3$라 할 때, $p-q$의 값을 구하시오. (단, $p$, $q$는 정수이다.) [4점]