2019학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 19번

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=2$, $\overline{\mathrm{BC}}=4$이고 $\angle\mathrm{ABC}=60^\circ$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 있다. 사각형 $\mathrm D_1\mathrm{BE}_1\mathrm F_1$이 마름모가 되도록 세 선분 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CA}$ 위에 각각 점 $\mathrm D_1$, $\mathrm E_1$, $\mathrm F_1$을 잡고, 마름모 $\mathrm D_1\mathrm{BE}_1\mathrm F_1$의 내부와 중심이 $\mathrm B$인 부채꼴 $\mathrm{BE}_1\mathrm D_1$의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 사각형 $\mathrm D_2\mathrm E_1\mathrm E_2\mathrm F_2$가 마름모가 되도록 세 선분 $\mathrm F_1\mathrm E_1$, $\mathrm E_1\mathrm C$, $\mathrm{CF}_1$ 위에 각각 점 $\mathrm D_2$, $\mathrm E_2$, $\mathrm F_2$를 잡고, 마름모 $\mathrm D_2\mathrm E_1\mathrm E_2\mathrm F_2$의 내부와 중심이 $\mathrm E_1$인 부채꼴 $\mathrm E_1\mathrm E_2\mathrm D_2$의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]