2017학년도 3월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 16번

(ⅰ) $n=1$일 때,

$3^1+1=2^2\times1$이므로 $f(3^1+1)=2$이다.

따라서 $n=1$일 때 $(*)$이 성립한다.

(ⅱ) $n=k$일 때 $(*)$이 성립한다고 가정하면

음이 아닌 정수 $m$과 홀수 $p$에 대하여

로 나타낼 수 있으므로

이다.

이고, $p$는 홀수이므로 $\boxed{\text{(나)}}$도 홀수이다.

따라서 $f(3^{2(k+1)-1}+1)=2$이다.

그러므로 $n=k+1$일 때도 $(*)$이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 $n$에 대하여 $f(3^{2n-1}+1)=2$이다.