집합과 첫 자연수 항

$2^{k-1}x$가 정수가 되도록 하는 자연수 $k$가 존재하는 모든 실수 $x$의 집합을 $A$라 하자. 수열 $\left\{a_n\right\}$이 다음 조건을 만족시킨다.

$a_m$이 자연수가 되도록 하는 자연수 $m$의 최솟값이 $3$일 때, 가능한 모든 $a_1$의 개수를 $p$, 그 값의 합을 $q$라 하자. $8\times\dfrac pq$의 값을 구하시오.