파란띠 4기출문제

2026학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 18번

그림과 같이 두 원 $C_1$ , $C_2$ 가 서로 다른 두 점 $\mathrm{P}$ , $\mathrm{Q}$ 에서 만나고, 직선 $l$ 이 이 두 원과 동시에 접한다. 직선 $l$ 과 두 원 $C_1$ , $C_2$ 의 접점을 각각 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 라 할 때, $\angle\mathrm{QAB}=\theta_1$ , $\angle\mathrm{QBA}=\theta_2$ 라 하자.

다음은 $\overline{\mathrm{AB}}=2$ , $\sin\theta_1:\sin\theta_2=\sqrt3:\sqrt2$ 이고, 삼각형 $\mathrm{PAB}$ 의 외접원의 반지름의 길이가 $\frac{3\sqrt3}{5}$ 일 때, 선분 $\mathrm{QA}$ 의 길이를 구하는 과정이다. (단, $\angle\mathrm{APB}<\angle\mathrm{AQB}$ )

원의 성질에 의하여 $\angle\mathrm{APQ}=\angle\mathrm{QAB}$ , $\angle\mathrm{BPQ}=\angle\mathrm{QBA}$ 이므로 $\angle\mathrm{APB}=\theta_1+\theta_2$ 이다. $\angle\mathrm{AQB}=\pi-\left(\theta_1+\theta_2\right)$ 이고 $\angle\mathrm{APB}<\angle\mathrm{AQB}$ 이므로 $\theta_1+\theta_2<\frac\pi2$ 이다.
$\overline{\mathrm{AB}}=2$ 이고 삼각형 $\mathrm{PAB}$ 의 외접원의 반지름의 길이가 $\frac{3\sqrt3}{5}$ 이므로 삼각형 $\mathrm{PAB}$ 에서 사인법칙에 의하여

\sin\left(\theta_1+\theta_2\right)=\boxed{\left(\text{가}\right)}

이다.
$\sin\theta_1:\sin\theta_2=\sqrt3:\sqrt2$ 이므로 삼각형 $\mathrm{QAB}$ 에서 사인법칙에 의하여

\overline{\mathrm{QB}}=\boxed{\left(\text{나}\right)}\times\overline{\mathrm{QA}}

이다.
$\angle\mathrm{AQB}=\pi-\left(\theta_1+\theta_2\right)$ , $\overline{\mathrm{AB}}=2$ 이므로 삼각형 $\mathrm{QAB}$ 에서 코사인법칙에 의하여

\overline{\mathrm{QA}}=\boxed{\left(\text{다}\right)}

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p$ , $q$ , $r$ 이라 할 때, $p\times q\times r^2$ 의 값은? [4점]

#사인법칙 #코사인법칙 #4점 #6월 학력평가 #2026년 시행 #원의성질 #2026학년도 #교육청

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