2015학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 나형 30번

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$인 정사각형을 [도형 $1$]이라 하자.

[도형 $1$]의 아랫변에 가로의 길이 $4$, 세로의 길이 $2$인 직사각형을 한 직선에 대해 대칭이 되도록 이어 붙여 만든 도형을 [도형 $2$]라 하자. 이때 한 직선은 [도형 $2$]의 가장 긴 변의 중점을 지난다.

이와 같은 방법으로 $3$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 [도형 $(n-1)$]의 아랫변에 가로의 길이 $2n$, 세로의 길이 $2$인 직사각형을 이어 붙여 만든 도형을 [도형 $n$]이라 하자.

자연수 $n$에 대하여 [도형 $n$]을 포함하는 원들 중 가장 작은 원의 넓이를 $a_n$이라 하자. $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{80a_n}{\pi n^2}$의 값을 구하시오. [4점]