2020학년도 6월 모의평가 수학 영역 나형 17번

그림과 같이 한 변의 길이가 $4$인 정사각형 $\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1\mathrm D_1$이 있다. 선분 $\mathrm C_1\mathrm D_1$의 중점을 $\mathrm E_1$이라 하고, 직선 $\mathrm A_1\mathrm B_1$ 위에 두 점 $\mathrm F_1$, $\mathrm G_1$을 $\overline{\mathrm E_1\mathrm F_1}=\overline{\mathrm E_1\mathrm G_1}$, $\overline{\mathrm E_1\mathrm F_1}:\overline{\mathrm F_1\mathrm G_1}=5:6$이 되도록 잡고 이등변삼각형 $\mathrm E_1\mathrm F_1\mathrm G_1$을 그린다. 선분 $\mathrm D_1\mathrm A_1$과 선분 $\mathrm E_1\mathrm F_1$의 교점을 $\mathrm P_1$, 선분 $\mathrm B_1\mathrm C_1$과 선분 $\mathrm G_1\mathrm E_1$의 교점을 $\mathrm Q_1$이라 할 때, 네 삼각형 $\mathrm E_1\mathrm D_1\mathrm P_1$, $\mathrm P_1\mathrm F_1\mathrm A_1$, $\mathrm Q_1\mathrm B_1\mathrm G_1$, $\mathrm E_1\mathrm Q_1\mathrm C_1$로 만들어진

모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에 선분 $\mathrm F_1\mathrm G_1$ 위의 두 점 $\mathrm A_2$, $\mathrm B_2$와 선분 $\mathrm G_1\mathrm E_1$ 위의 점 $\mathrm C_2$, 선분 $\mathrm E_1\mathrm F_1$ 위의 점 $\mathrm D_2$를 꼭짓점으로 하는 정사각형 $\mathrm A_2\mathrm B_2\mathrm C_2\mathrm D_2$를 그리고, 그림 $R_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 정사각형 $\mathrm A_2\mathrm B_2\mathrm C_2\mathrm D_2$에

모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]