2017학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 18번

반지름의 길이가 $\sqrt3$인 원 $O$가 있다. 그림과 같이 원 $O$ 위의 한 점 $\mathrm A$에 대하여 정삼각형 $\mathrm{ABC}$를 높이가 원 $O$의 반지름의 길이와 같고 선분 $\mathrm{BC}$의 중점이 원 $O$ 위의 점이 되도록 그린다. 그리고 정삼각형 $\mathrm{ABC}$와 합동인 정삼각형 $\mathrm{DEF}$를 점 $\mathrm D$가 원 $O$ 위에 있고 네 점 $\mathrm B$, $\mathrm C$, $\mathrm E$, $\mathrm F$가 한 직선 위에 있도록 그린다. 원 $O$의 내부와 정삼각형 $\mathrm{ABC}$의 내부의 공통부분인 모양의 도형과 원 $O$의 내부와 정삼각형 $\mathrm{DEF}$의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 두 선분 $\mathrm{AC}$, $\mathrm{DE}$에 동시에 접하고 원 $O$에 내접하는 원을 그린 후, 새로 그려진 원에 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 도형과 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]