2016학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 19번

한 변의 길이가 $4$인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$가 있다. 그림과 같이 선분 $\mathrm{BC}$를 $1:3$으로 내분하는 점을 $\mathrm E$, 선분 $\mathrm{DA}$를 $1:3$으로 내분하는 점을 $\mathrm F$라 하고 평행사변형 $\mathrm{BEDF}$를 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 정사각형 안에 있는 각 직각삼각형에 내접하는 가장 큰 정사각형을 각각 그리자. 새로 그려진 각 정사각형에 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 평행사변형을 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

그림 $R_2$에서 새로 그려진 정사각형 안에 있는 각 직각삼각형에 내접하는 가장 큰 정사각형을 각각 그리자. 새로 그려진 각 정사각형에 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 평행사변형을 색칠하여 얻은 그림을 $R_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 모든 평행사변형의 넓이의 합을 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]