수학의 비문학화

$\; \;$정적분은 주어진 구간에서 함수의 값을 누적하여 얻는 양을 나타내며, 곡선과 좌표축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하는 데 활용된다. 일반적으로 정적분은 유한한 닫힌 구간에서 연속인 함수를 대상으로 정의하지만, 정규분포의 확률밀도함수처럼 실수 전체의 집합에서 적분하거나 함수 $f(x) = \tan x$처럼 특정 점에 가까워질 때 함수값의 절댓값이 한없이 커지는 경우에도 적분값을 정의할 필요가 있다. 이처럼 일반적인 정적분의 정의를 그대로 적용하기 어려운 경우, 극한을 이용해 적분값을 정의하는 방법을 이상적분이라 한다.

$\; \;$이상적분에는 적분 구간이 무한한 경우와 유한한 구간에서 피적분함수의 함숫값의 절댓값이 한없이 커지는 경우가 있다. 정적분에서 적분 기호 안에 나타나는 함수를 피적분함수라고 한다. 먼저 적분 구간이 무한한 경우를 살펴보자. 실수 $a$에 대하여 함수 $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$와 $x$축, $x = 1$, $x = a$로 둘러싸인 부분의 넓이 $S$는 다음과 같다.

$\displaystyle S = \int_{1}^{a}\dfrac{1}{x^2}\,dx = 1 - \dfrac{1}{a} \quad (a> 1)$

이때 $a \rightarrow \infty$이면 $S$는 $1$에 가까워진다. 이처럼 적분값의 극한이 유한하게 존재하는 경우, 그 극한값으로 무한 구간의 적분값을 정의할 수 있다. 한편, $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{1}{x^2 + 1}\,dx$와 같이 적분 구간 양쪽 끝이 모두 무한한 경우 임의의 실수 $c$를 기준으로 적분 구간을 나눌 수 있다. 이때 $\displaystyle \int_{-\infty}^{c}\dfrac{1}{x^2 + 1}\,dx$와$\displaystyle \int_{c}^{\infty}\dfrac{1}{x^2 + 1}\,dx$를 앞서 소개한 방법과 마찬가지로 각각 수렴함을 보인다면, 두 적분값의 합으로 전체 이상적분의 값을 정의할 수 있다.

$\; \;$적분 구간이 유한하더라도 그 내부의 특정 점에서 피적분함수가 발산하는 경우가 있다. 예를 들어, 함수 $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$의 구간 $[-1, 1]$에서의 정적분을 형식적으로 구해 보면 다음과 같다.

$\displaystyle *\int_{-1}^{1}\dfrac{1}{x^2}\,dx = F(1) - F(-1) = -2 \quad \quad F(x) = -\dfrac{1}{x}$

하지만 함수 $f(x)$는 $x = 0$에서 불연속이므로 일반적인 정적분의 정의를 적용할 수 없을뿐더러, 함숫값이 항상 양수이므로 구간 $[-1, 1]$에서의 적분값을 넓이로 해석할 때 음수일 수 없다. 따라서 위와 같이 구간 전체에서 적분 공식을 적용한 계산은 정당하지 않다. 그러므로 점 $x = 0$을 기준으로, 적분 구간을 나누어 각각의 적분값의 극한을 따져야 한다. 그럴 경우, 실수 $a$에 대하여 양쪽 적분을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\displaystyle \int_{-1}^{-a}\dfrac{1}{x^2}\,dx = \dfrac{1}{a} - 1, \quad \int_{a}^{1}\dfrac{1}{x^2}\,dx = \dfrac{1}{a} - 1 \qquad(0 < a < 1)$

이때 $a \rightarrow 0+$이면 두 적분값은 모두 $+\infty$로 발산하므로, 적분값이 존재하지 않는다.

$\; \;$이처럼 유한한 구간에서 특정 점에 가까워질 때 피적분함수의 함숫값의 절댓값이 한없이 커지는 경우에는 해당 점을 기준으로 적분 구간을 나누고, 각 구간에서 피적분함수가 발산하는 점에 한쪽에서 접근할 때의 극한을 이용하여 적분값을 정의한다. 이때 나누어진 각 구간의 이상적분이 모두 유한한 값으로 수렴하면 그 합을 전체 구간의 이상적분값으로 정의하며, 하나라도 수렴하지 않으면 전체 이상적분은 발산한다고 한다. 따라서 이상적분을 계산할 때에는 피적분함수가 정의되지 않는 점들뿐만 아니라, 적분 구간의 양 끝점도 고려해야 한다.

※ '$*$'는 잘못된 등식임을 나타냄.