접선이 그어지려면

최고차항의 계수가 자연수인 이차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

방정식 $f(x)=0$의 서로 다른 두 실근을 $\alpha,\beta\ (\alpha<\beta)$라 하고, 두 점 $A(\alpha-1,0),\ B(\beta+1,0)$를 잡는다.

중심이 선분 $\overline{AB}$ 위에 있고 반지름이 1인 원 $O$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 점 $P$ 전체가 이루는 영역의 넓이를 $S(O)$라 하자.

원의 중심이 선분 $\overline{AB}$ 위를 움직일 때, $S(O)$의 최솟값을 $a-b\pi$라 하자. $12ab$의 값은? (단, $a,b$는 유리수이다.)