2013학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 B형 29번

그림과 같이 반지름의 길이가 $\sqrt3$인 원 $O$의 내부에 가로, 세로의 길이의 비가 $1:\sqrt3$인 크기가 같은 직사각형 $3$개를 각각의 긴 변 중 한 변은 원 $O$의 현이 되고 나머지 긴 변은 다른 두 직사각형과 각각 한 꼭짓점에서 만나도록 그리고 세 직사각형의 변에 의해 만들어진 정삼각형에 내접하는 원을 $O_1$이라 하고 세 직사각형을 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 원 $O_1$의 내부에 가로, 세로의 길이의 비가 $1:\sqrt3$인 크기가 같은 직사각형 $3$개를 그리고 세 직사각형의 변에 의해 만들어진 정삼각형에 내접하는 원을 $O_2$라 하고 세 직사각형을 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

그림 $R_2$에 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 원 $O_2$의 내부에 가로, 세로의 길이의 비가 $1:\sqrt3$인 크기가 같은 직사각형 $3$개를 그리고 세 직사각형의 변에 의해 만들어진 정삼각형에 내접하는 원을 $O_3$라 하고 세 직사각형을 색칠하여 얻은 그림을 $R_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에서 색칠된 모든 직사각형의 넓이의 합을 $S_n$이라 하자. $\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\frac qp\sqrt3$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$, $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]