다음은 모든 자연수 n 에 대하여 \frac12\times\frac34\times\frac56\times\cdots\times\frac{2n-1}{2n}\le\frac1{\sqrt{3n+1}}\quad\cdots\quad(\bigstar) 이 성립함을 증명하는 과정이다. (i) n=1 일 때 \frac12\le\frac1{\sqrt4} 이므로 (\bigstar) 이 성립한다. (ii) n=k 일 때 (\bigstar) 이 성립한다고 가정하면 \frac12\times\frac34\times\frac56\times\cdots\time…

밤띠 2기출문제

2013학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 A형 15번

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여

\frac12\times\frac34\times\frac56\times\cdots\times\frac{2n-1}{2n}\le\frac1{\sqrt{3n+1}}\quad\cdots\quad(\bigstar)

이 성립함을 증명하는 과정이다.

<증명>

(i) $n=1$ 일 때

$\frac12\le\frac1{\sqrt4}$ 이므로 $(\bigstar)$ 이 성립한다.

(ii) $n=k$ 일 때 $(\bigstar)$ 이 성립한다고 가정하면

\frac12\times\frac34\times\frac56\times\cdots\times\frac{2k-1}{2k}\times\frac{2k+1}{2k+2}

\le\frac1{\sqrt{3k+1}}\cdot\frac{2k+1}{2k+2}=\frac1{\sqrt{3k+1}}\cdot\frac1{1+\boxed{\text{(가)}}}

=\frac1{\sqrt{3k+1}}\cdot\frac1{\sqrt{\left(1+\boxed{\text{(가)}}\right)^2}}

=\frac1{\sqrt{3k+1+2(3k+1)\cdot\left(\boxed{\text{(가)}}\right)+(3k+1)\cdot\left(\boxed{\text{(가)}}\right)^2}}

<\frac1{\sqrt{3k+1+2(3k+1)\cdot\left(\boxed{\text{(가)}}\right)+\left(\boxed{\text{(나)}}\right)\cdot\left(\boxed{\text{(가)}}\right)^2}}

=\frac1{\sqrt{3(k+1)+1}}

따라서 $n=k+1$ 일 때도 $(\bigstar)$ 이 성립한다.

그러므로 (i), (ii)에 의하여 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $(\bigstar)$ 이 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(k)$ , $g(k)$ 라 할 때, $f(4)\times g(13)$ 의 값은? [4점]

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