2023학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 수학 영역 공통 13번

두 곡선 $y=16^x$, $y=2^x$과 한 점 $\mathrm{A}\left(64,\,2^{64}\right)$이 있다.
점 $\mathrm{A}$를 지나며 $x$축과 평행한 직선이 곡선 $y=16^x$과 만나는 점을 $\mathrm{P}_1$이라 하고, 점 $\mathrm{P}_1$을 지나며 $y$축과 평행한 직선이 곡선 $y=2^x$과 만나는 점을 $\mathrm{Q}_1$이라 하자.
점 $\mathrm{Q}_1$을 지나며 $x$축과 평행한 직선이 곡선 $y=16^x$과 만나는 점을 $\mathrm{P}_2$라 하고, 점 $\mathrm{P}_2$를 지나며 $y$축과 평행한 직선이 곡선 $y=2^x$과 만나는 점을 $\mathrm{Q}_2$라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 두 점을 각각 $\mathrm{P}_n$, $\mathrm{Q}_n$이라 하고 점 $\mathrm{Q}_n$의 $x$좌표를 $x_n$이라 할 때, $x_n<\dfrac{1}{k}$을 만족시키는 $n$의 최솟값이 $6$이 되도록 하는 자연수 $k$의 개수는? [4점]