2023학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 수학 영역 공통 13번

두 곡선 $y=16^x$, $y=2^x$과 한 점 $A(64,\ 2^{64})$이 있다.

점 $A$를 지나며 $x$축과 평행한 직선이 곡선 $y=16^x$과 만나는 점을 $P_1$이라 하고, 점 $P_1$을 지나며 $y$축과 평행한 직선이 곡선 $y=2^x$과 만나는 점을 $Q_1$이라 하자.

점 $Q_1$을 지나며 $x$축과 평행한 직선이 곡선 $y=16^x$과 만나는 점을 $P_2$라 하고, 점 $P_2$를 지나며 $y$축과 평행한 직선이 곡선 $y=2^x$과 만나는 점을 $Q_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 두 점을 각각 $P_n$, $Q_n$이라 하고 점 $Q_n$의 $x$좌표를 $x_n$이라 할 때,

을 만족시키는 $n$의 최솟값이 $6$이 되도록 하는 자연수 $k$의 개수는? [4점]