초록띠 4기출문제

2010학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 19번

다음은 모든 항이 양수인 수열 $\{a_n\}$ 이 양의 상수 $K$ 에 대하여

a_1\ge K,\quad a_{n+1}=\frac12\left(a_n+\frac{K^2}{a_n}\right)\;(n=1,2,3,\cdots)

을 만족시킬 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ 의 값을 구하는 과정이다.

$a_n>0$ , $K>0$ 이고, $a_1\ge K$ 이므로

a_{n+1}=\frac12\left(a_n+\frac{K^2}{a_n}\right)\ge\boxed{\text{(가)}}

이다. 따라서 모든 자연수 $n$ 에 대하여

a_n\ge\boxed{\text{(가)}}\qquad\cdots\;\text{\char"3260 }

이다.

$a_{n+1}=\dfrac12\left(a_n+\dfrac{K^2}{a_n}\right)$ 이므로 $2$ 이상인 자연수 $n$ 에 대하여

a_n=\frac12\left(a_{n-1}+\frac{K^2}{a_{n-1}}\right)

이다.

\begin{aligned}a_n-K&=\frac12\left(a_{n-1}+\frac{K^2}{a_{n-1}}\right)-K\\&=\frac12\left(\boxed{\text{(나)}}\right)\left(1-\frac K{a_{n-1}}\right)\le\frac12\left(\boxed{\text{(나)}}\right)\end{aligned}

이 성립하므로

a_n-K\le\frac12\left(\boxed{\text{(나)}}\right)\le\cdots\le\boxed{\text{(다)}}(a_1-K)\quad\cdots\;\text{\char"3261 }

이다.

㉠, ㉡에 의하여 $0\le a_n-K\le\boxed{\text{(다)}}(a_1-K)$ 이다.

그러므로 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\boxed{\text{(가)}}$ 이다.

위 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

\begin{array}{ccc}\underline{\text{(가)}}&\underline{\text{(나)}}&\underline{\text{(다)}}\end{array}

[4점]

#수열의 극한 #추론·증명 #4점 #11월 학력평가 #2010학년도 #2010년 시행 #교육청

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