2017학년도 대학수학능력시험 수학 영역 나형 30번

실수 $k$에 대하여 함수 $f\left(x\right)=x^3-3x^2+6x+k$의 역함수를 $g\left(x\right)$라 하자. 방정식 $4f^{'}\left(x\right)+12x-18=\left(f^{'}\circ g\right)\left(x\right)$가 닫힌 구간 $\left[0,\,1\right]$에서 실근을 갖기 위한 $k$의 최솟값을 $m$, 최댓값을 $M$이라 할 때, $m^2+M^2$의 값을 구하시오. [4점]