격자점 집합을 통해 삼각함수의 그래프 알아내기

${\pi\over2}<b<\pi$인 실수 $b$, 점 $\mathrm P_t(t, 3\sin bt)$와 집합

에 대해 $Q\in A$일 때 $\overline{P_tQ}$의 최솟값을 $f(t)$라 하자. $0<k<{2\pi\over b}$를 만족하는 상수 $k$에 대해

가 다음 조건을 만족한다.

• $\lim_{x\rightarrow k}g(x)≠g(k)$

• $\overline{P_kQ}=f(k)$를 만족하는 $Q\in A$ 중 $y$좌표의 절댓값이 $3$ 이상인 점이 있다.

$x\in [0, {3\pi\over b}]$일 때 $g(x)$가 불연속인 점의 $x$좌표의 평균을 $c$라 하자.

$\cos^23b+c={q\over p}$일 때 $p+q$의 값을 구하시오.

(단 $p, q$는 서로소인 자연수이다.)