2017학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 나형 19번

길이가 $4$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 반원 $O$가 있다. 그림과 같이 선분 $\mathrm{AB}$를 한 변으로 하고 반원 $O$에 외접하는 직사각형 $\mathrm{ABCD}$를 그린다. 선분 $\mathrm{AB}$를 $3:1$로 내분하는 점을 $\mathrm N$이라 하고, 점 $\mathrm N$을 지나고 선분 $\mathrm{AB}$와 수직인 직선이 반원 $O$와 만나는 점을 $\mathrm P$라 하자. 반원 $O$의 내부와 삼각형 $\mathrm{ABP}$의 외부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 점 $\mathrm D$를 중심으로 하고 지름의 길이가 $\frac12\overline{\mathrm{AB}}$인 반원 $O_1$, 점 $\mathrm C$를 중심으로 하고 지름의 길이가 $\frac12\overline{\mathrm{AB}}$인 반원 $O_2$를 지름이 직선 $\mathrm{DC}$ 위에 있도록 그린다.

두 반원 $O_1$, $O_2$에 각각 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 $2$개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]