2026학년도 10월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 29번

원 $C:x^2+y^2=25$에 대하여 원 $C$ 위의 점 $\mathrm A(5,\,0)$이 있다. 원 $C$와 직선 $x=-3$이 만나는 두 점 중 $y$좌표가 양수인 점을 $\mathrm B$, 음수인 점을 $\mathrm C$라 하자. 상수 $k$에 대하여 직선 $l:3x+4y+k=0$이 다음 조건을 만족시킨다.

직선 $l$이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm D$라 할 때, 삼각형 $\mathrm{BCD}$의 넓이가 $\frac qp$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]