2006학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 15번

<증명>

(i) $n=1$일 때, $4>2+1$

$n=2$일 때, $8>6+1$이므로 성립한다.

(ii) $n=k\ (k\ge2)$일 때, $2^{k+1}>\boxed{\text{(\char"AC00)}}+1\qquad\cdots\text{\char"3260}$이 성립한다고 가정하자.

㉠의 양변에 2를 곱하면

이때, $2(k^2+k+1)-\boxed{\text{(\char"B098)}}=k^2-k-1$

$k\ge2$일 때, $k^2-k-1\ \boxed{\text{(\char"B2E4)}}\ 0$이므로

따라서 $n=k+1$일 때도 성립한다.

(i), (ii)에 의하여 모든 자연수 $n$에 대하여 $2^{n+1}>n(n+1)+1$이 성립한다.